Vorwort -- Vorwort der ersten Auflage -- Inhalt -- Kapitel 1: Algebraische Hilfsmittel -- 1.1 Die Summationskonvention -- 1.2 N-tupel -- 1.2.1 Definitionen -- 1.2.2 Rechenoperationen -- 1.2.3 Lineare Unabhängigkeit -- 1.3 Determinanten -- 1.3.1 Definitionen -- 1.3.2 Berechnung von Determinanten -- 1.3.3 Rechnen mit Determinanten -- 1.4 Kronecker-Symbole -- 1.4.1 δij -- 1.4.2 δ -- 1.4.3 εi... -- 1.4.4 Darstellung einer Determinante mit εi... -- 1.4.5 εi -- 1.5 Matrizen -- 1.5.1 Definitionen -- 1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen -- 1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen -- 1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen, ähnliche Matrizen -- 1.5.5 Orthogonale Matrizen -- 1.6 Algorithmen -- 1.6.1 Berechnung einer Determinante -- 1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix („Division durch eine reguläre Matrix", gaußscher Algorithmus) -- 1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante -- Kapitel 2: Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und in kartesischen Koordinaten -- 2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren -- 2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten -- 2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme -- 2.1.3 Eigenschaften der Transformationskoeffizienten -- 2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren -- 2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten -- 2.2 Vektoren -- 2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten -- 2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten -- 2.3 Tensoren -- 2.3.1 Tensoren zweiter Stufe -- 2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe -- 2.3.3 Symmetrien in der Physik -- 2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten- und Matrizenschreibweise -- 2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit.

2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren -- 2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren -- 2.7.1 Definition -- 2.7.2 Eigenschaften -- 2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten -- 2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und Darstellungsgleichungen -- 2.8 δ-Tensor, ε-Tensor, isotrope Tensoren -- 2.8.1 Der δ-Tensor -- 2.8.2 Der ε-Tensor -- 2.8.3 Isotrope Tensoren -- 2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren -- 2.9.1 Definition -- 2.9.2 Eigenschaften -- 2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur -- 2.9.4 Mehrfache skalare Produkte -- 2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren -- 2.10.1 Definition -- 2.10.2 Eigenschaften -- 2.10.3 Das Spatprodukt -- 2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen -- 2.12 Differentialoperationen -- 2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis -- 2.12.2 Der Gradient -- 2.12.3 Das (vollständige) Differential -- 2.12.4 Die Divergenz -- 2.12.5 Die Rotation -- 2.12.6 Der Laplace-Operator -- 2.13 Indexbilanz und Strichbilanz -- 2.14 Integrale von Tensorfeldern -- 2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten -- 2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements -- 2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten -- 2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten -- 2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe -- 2.15 Gaußscher und stokesscher Satz -- 2.15.1 Der gaußsche Satz -- 2.15.2 Der stokessche Satz -- Kapitel 3: Algebra von Tensoren zweiter Stufe -- 3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors -- 3.2 Die Determinante eines Tensors -- 3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors -- 3.4 Der Kotensor eines Tensors -- 3.5 Der Rang eines Tensors -- 3.6 Der inverse Tensor -- 3.7 Orthogonale Tensoren -- 3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion -- 3.8.1 Rang 3 -- 3.8.2 Rang 2 -- 3.8.3 Rang 1 -- 3.8.4 Rang 0 -- 3.9 Reziproke Basen -- 3.9.1 Definition.

3.9.2 Orthogonalitätsrelationen -- 3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen -- 3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene -- 3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren -- 3.10.1 Rang 3 -- 3.10.2 Rang 2 -- 3.10.3 Rang 1 -- 3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung -- 3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen -- 3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten -- 3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte, Sätze über Eigenwerte -- 3.11.4 Sätze über Eigenvektoren -- 3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen -- 3.12 Symmetrische Tensoren -- 3.12.1 Die Hauptachsentransformation -- 3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors -- 3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors -- 3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen -- 3.13 Orthogonale polare Tensoren -- 3.13.1 Die Drehung in der Ebene -- 3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung -- 3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw. Spiegelungsachse und Drehwinkel -- 3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation -- 3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley-Hamilton-Gleichung -- 3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten -- 3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten -- 3.14.3 Die Cayley-Hamilton-Gleichung -- 3.15 Grundinvarianten -- 3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors -- Kapitel 4: Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten -- 4.1 Krummlinige Koordinaten -- 4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme -- 4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien -- 4.1.3 Holonome Basen -- 4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme -- 4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme -- 4.2 Holonome Tensorkoordinaten -- 4.2.1 Allgemeines -- 4.2.2 Transformationen zwischen zwei krummlinigen Koordinatensystemen -- 4.2.3 Die Summationskonvention -- 4.2.4 Der δ-Tensor -- 4.2.5 Herauf- und Herunterziehen von Indizes -- 4.2.6 Der ε-Tensor -- 4.2.7 Isotrope Tensoren.

4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten -- 4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten -- 4.4 Differentialoperationen -- 4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors -- 4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen, Christoffel-Symbole -- 4.4.3 Christoffel-Symbole und Metrikkoeffizienten -- 4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren. Die partielle und die ko-variante Ableitung von Tensorkoordinaten -- 4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren. Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten -- 4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter -- 4.4.7 Der Gradient -- 4.4.8 Divergenz und Rotation -- 4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen -- 4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate. Der Laplace-Operator -- 4.4.11 Integrale von Tensorfeldern -- Kapitel 5: Darstellungstheorie -- 5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie -- 5.2 Die verallgemeinerte Cayley-Hamilton-Gleichung -- 5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe -- 5.3.1 Invarianten von Vektoren -- 5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe -- 5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren -- 5.3.4 Zusammenfassung -- 5.4 Isotrope Tensorfunktionen -- 5.4.1 Invarianzbedingungen -- 5.4.2 Skalarwertige Funktionen -- 5.4.3 Vektorwertige Funktionen -- 5.4.4 Tensorwertige Funktionen -- 5.4.5 Zusammenfassung -- 5.5 Berücksichtigung von Anisotropien -- Kapitel 6: Der Vektorraum -- 6.1 Einfache algebraische Systeme -- 6.1.1 Die Halbgruppe -- 6.1.2 Die Gruppe -- 6.1.3 Der Ring -- 6.1.4 Der Körper -- 6.2 Der (affine) Vektorraum -- 6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion -- 6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit -- 6.2.3 Basis und Dimension -- 6.2.4 Koordinaten -- 6.2.5 Transformationsgleichungen -- 6.3 Abbildungen.

6.3.1 Allgemeine Abbildungen -- 6.3.2 Lineare Abbildungen -- 6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung -- 6.4 Dualität -- 6.4.1 Der Dualraum -- 6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation -- 6.4.3 Duale Basen -- 6.4.4 Transformationsgleichungen -- 6.5 Der (affine) Tensorraum -- 6.5.1 Die tensorielle Multiplikation -- 6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren -- 6.5.3 Transformationsgleichungen -- 6.6 Der euklidische Vektorraum -- 6.6.1 Die skalare Multiplikation -- 6.6.2 Die Metrik -- 6.6.3 Dualität -- 6.7 Der Punktraum -- 6.7.1 Der affine (Punkt-)Raum -- 6.7.2 Der euklidische (Punkt-)Raum -- Literatur -- Anhang A: Lösungen der Aufgaben -- Anhang B: Zylinder- und Kugelkoordinaten -- Sachwortregister.